Золотое сечение
***
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка AC на две части таким образом, что большая его часть AB относится к меньшей BC так, как весь отрезок AC относится к AB (то есть AB:BC=AC:AB). Приближенно это отношение равно 5/3, точнее 8/5, 13/8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи (конец 15 века).
Золотое сечение
гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении, деление отрезка AB на две части т. о., что большая его часть AC является средней пропорциональной между всем отрезком AB и меньшей его частью CB (см. рис.). Алгебраическое нахождение З. с. отрезка AB = а сводится к решению уравнения a/x = х/(а—х) (где х = AC)
тношение х к а может быть также выражено приближённо дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 и т.д., где 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д. — Фибоначчи числа. Геометрически построение З. с. отрезка AB осуществляется так: в точке В проводят перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BE = 1/2AB, соединяют А и Е, откладывают ED = EB и, наконец, AC = AD, тогда будет AB/AC = AC/CB. З. с. было известно ещё в древности. В дошедшей до нас античной литературе З. с. впервые встречается в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.). Термин «З. с.» ввёл Леонардо да Винчи (конец 15 — начало 16 вв.). Принципы З. с. или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом произведений архитектуры античности и Возрождения).
***Отношение х к а может быть также выражено приближённо дробями 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 и т.д., где 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д. — Фибоначчи числа. Геометрически построение З. с. отрезка AB осуществляется так: в точке В проводят перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BE = 1/2AB, соединяют А и Е, откладывают ED = EB и, наконец, AC = AD, тогда будет AB/AC = AC/CB. З. с. было известно ещё в древности. В дошедшей до нас античной литературе З. с. впервые встречается в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.). Термин «З. с.» ввёл Леонардо да Винчи (конец 15 — начало 16 вв.). Принципы З. с. или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом произведений архитектуры античности и Возрождения).
ФИЛОСОФИЯ НАУКИ
На Земле, как и во всей Вселенной, дают о себе знать удивительный порядок и совершенная гармония. Зачастую их невозможно выразить словами и тогда приходится обращаться к языку математики. Выявление сходных свойств в казалось бы не связанных между собой событиях и структурах указывает на Создателя, господствующего над миром. В этой статье пойдет речь о так называемом золотом сечении, представляющим собой особенное число в математике. Наряду с его историей и применением в искусстве и эстетике, мы будем говорить и о той роли, которую оно играет во вселенной. Люди предпочитают одни прямоугольники другим. При целом ряде прямоугольников (имеющих широкое или квадратное основание, либо других) предпочтение, в основном, будет отдано тем, которые имеют определенные пропорции. Эта пропорция известна как золотое сечение. Являясь основополагающим, золотое сечение использовалось в эстетике на протяжении всей истории – начиная с греческой архитектуры до изображения портрета Мона Лизы. Это особенное число встречается не только в эстетике, но и в науке. В опубликованной недавно в журнале Physical Review статье сообщается, что в свойствах некоторых металлов обнаруживается это число. Золотое сечение можно встретить также в расположении листьев на стеблях растений, в размещении семечек подсолнуха, в спиралях морских раковин и галактик. Это число встречается почти везде во вселенной. Хотя определение золотого сечения впервые было дано в 300 годы до н.э. греческим математиком Евклидом, скорее уже за 200 лет до этого о нем знали последователи Пифагора. Евклид определил это сечение, используя деление прямой линии на неравные друг другу части. Если соотношение между длинным и коротким отрезками равно отношению всего интервала к длинной его части, то это значит, что интервал разделен в золотом сечении. В численном виде это отношение будет составлять 1,6180339887.
Золотое сечение обладает удивительными математическими особенностями. Для получения квадрата этого числа достаточно к данному числу прибавить единицу. В то же время для нахождения обратной величины этого числа нужно вычесть единицу. Как следствие этого свойства, если с короткой стороны "золотого" четырехугольника (стороны которого находятся в золотом сечении) отрезать квадрат, то оставшийся после этого четырехугольник снова будет "золотым". Другая особенность следующая: выбрав любые два числа, построим последовательность таким образом, что сумма двух чисел даст третий элемент последовательности. Четвертый элемент будет соответствовать сумме второго и третьего элементов, а пятый – сумме двух предыдущих чисел. Например, если вы начали с чисел 7 и 11, то цепочка будет продолжаться в виде: 7, 11, 18, 29, 47, 76. Деление двадцатого числа последовательности на девятнадцатое дает приближенно золотое сечение. Математическим языком это будет выражено как (an/an-1 )= золотое сечение.
Часто втречающаяся в природе цепочка чисел Фибоначчи также следует этой логике. Последовательность следующая: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. С ростом последовательности отношение какого-либо числа к предыдущему приближается к золотому сечению. Эта последовательность определяет соотношение спиралей морских раковин и размещение семечек подсолнуха. Популярности золотого сечения у художников и архитекторов содействовал итальянский монах и математик Лучо Пачиолли. В XV веке Пачиолли опубликовал трехтомную работу под названием «Священное число». Неповторяемость [двузначных] десятичных групп золотого сечения он уподобил непостижимой сущности Бога. Вслед за Пачиолли это соотношение использовали в своих творениях ряд художников, архитекторов и музыкантов. Среди них были известные композиторы Дебюсси, Барток, а также знаменитый архитектор Ле-Корбусье.
Рассмотрим одно из применений золотого сечения — филлотаксис (phyllotaxis), то есть расположение листьев по отношению к стеблю перпендикулярно растущего растения /в перпендикулярной системе растения/. Каждый новый лист вырастает под определенным углом по отношению к нижнему листу. В большинстве случаев этот угол составляет 137.5 градусов. Если же 360 градусов разделить в золотом сечении, то результатом будут 137.5 и 222.5 градусные углы. В чем заключается смысл золотого сечения в филлотаксисе? Это целиком обусловлено эффективностью. Когда каждый новый лист на кончике ветви получает солнечный свет, он наименьшим образом должен затенять предыдущие листья. Расположенные вокруг ветви по спирали и делящие круг по золотому сечению листья, максимально используют солнечный свет благодаря идеальному расположению. Если бы следующие друг за другом листья были бы расположены под углом 120 градусов, то все листья сверху виделись бы в виде трех столбцов /колонок, стопок, пачек/ и среди этих столбцов образовались бы большие пробелы. Это препятствовало бы эффективному приему солнечного света. Если бы угол был 50 градусов, то было больше трех столбцов, но и в этом случае образовались бы пустоты и после небольшого количества листья располагались бы точно снова один под другим. Однако при 137.5 градусах пустоты доведены до минимума и позволяют расположить максимальное количество листьев, не теряя возможности получения солнечных лучей.
Золотое сечение встречается и в материаловедении. Возьмем, к примеру, рост, развитие квазикристаллов, не обладающих такой полностью упорядоченной структуры, как кристаллы. Эти кристаллы обладают пятикратной симметрией, то есть не изменяются при повороте на одну пятую круга. После открытия в 1984 году, несколько ученых стали выращивать эти кристаллы и исследовать их странные свойства. Танхонг Чай из Брукхавенской национальной лаборатории штата Нью-Йорк изучил изображение двух выращенных кристаллов такого типа. Это были кристаллы сплавов Al-Cu-Fe и Al-Pd-Mn. В изображениях кристаллов он увидел, что плоские поля отделяются друг от друга резкими вертикальными ступеньками. Доминировало два числа для размеров этих ступенек, соотношение которых соответствовало золотому сечению. Это открытие было сделано в 2002 году.
Золотое сечение можно встретить не только на нашей земле. Это соотношение встречается и в спиралевидных галактиках. В макромире есть и другое применение — черные дыры. В 1989 году Пауль Дэвис из университета Аделаиды открыл, что золотое сечение имеет отношение к термодинамике вращающихся черных дыр. Каждый объект обладает позитивной специфической температурой. При этом излучение энергии ведет к охлаждению. Вращающаяся же черная дыра может обладать отрицательной специфической температурой, и поэтому во время выброса энергии эти объекты становятся еще теплее. Отрицательная или положительная специфическая температура черной дыры связана с массой черной дыры и параметром вращения, характеризующей быстроту вращения. Ученый нашел, что, если отношение квадратного корня массы черной дыры к квадратному корню параметра вращения равно золотому сечению, то специфическая температура меняется от отрицательной к положительной. Значит, в этом отношении золотое сечение определяет характер черной дыры.
Имеется неисчислимое количество примеров золотого сечения в живой и неживой природе. На рис. 2 показаны кости наших рук и пальцев. Начиная с кончиков пальцев и следуя дальше в глубь руки, каждая последующая кость соотносится с предыдущей в золотом сечении. На шишках сосен можно увидеть спирали, образованные по методу золотого сечения. Эти спирали обнаруживаются на цветке Echinacea purpura. Последним из бесчисленного количества образцов можно привести цветную капусту и спирали. Благодаря развитию науки могут открыться новые примеры золотого сечения во вселенной. Последние открытия, связанные с материаловедением и черными дырами, подтверждают это предположение. Может быть использование этого сечения в технологии приведет к еще более эффективным продуктам, которые, в свою очередь, в большей степени облегчат нашу жизнь. Рассеянные по вселенной тайны, подобные этой, способствуют расширению горизонтов нашего кругозора и дальнейшему прогрессу.
Литература
Marcus Chown, Why Should Nature Have a Favourite Number, New Scientist, 21/28 December 2002, 55-56.
Если отношение АС к СВ равно отношению AB к AC, это значит, что прямой отрезок разделен в золотом сечении. Если непрерывно делить в золотом сечении прямоугольник, отношение сторон которого соответствует золотому сечению, то можно получить спираль, которая видна в морских раковинах и галактиках. (New Scientist, 21/28 December 2002)
На шишках сосен можно увидеть спирали, которые образованы золотым сечением.
<